▶ 数学Ⅱで学習する三角関数の公式への苦手意識をなくすことができる
▶ 加法定理から2倍角・半角・和と積の公式を導けるようになる
▶ 試験や入試で公式を忘れても短時間で再現できる
三角関数の公式はすべて覚えなくてよい
三角関数には多くの公式がありますが、すべてを暗記する必要はありません。大切なのは「最低限の公式を覚え、他の公式は導出できるようにすること」です。具体的には、加法定理さえ覚えておけば、2倍角の公式・半角の公式・和と積の公式を導出できます。
今週末に学校の定期テストを控えていて、数学を受験で使わない人は結果だけ覚えておけば十分です。しかし、受験で数学を使う予定のある人は、公式の導出方法をしっかり理解しておくことが重要です。実際の入試で必要になるのは、これらの公式のうち1～2個程度であり、導出には1分もかかりません。
「この公式、本当に合ってたかな……？」と不安に思う時間があるなら、自分で導出して確信を持って解ける方が、確実に点数につながります。暗記に頼るのではなく、必ず手を動かして、自分の力で加法定理からすべての公式を導出できるようになるまで繰り返しましょう。
加法定理を出発点にする
三角関数の加法定理は以下の式で表されます。
これも図などから導出は可能ですが、これだけは頑張って覚えるのが良いと思います。
\[
\sin(\alpha + \beta) = \sin\alpha \cos\beta + \cos\alpha \sin\beta
\]
\[
\cos(\alpha + \beta) = \cos\alpha \cos\beta – \sin\alpha \sin\beta
\]
この2つを覚えていれば、その他の主要な公式を導くことができます。以下に、その導出を順に示していきます。
加法定理（\(\alpha-\beta\)）の導出
加法定理は覚えるって言われたときに、\(\sin (\alpha-\beta)\)や\(\cos (\alpha-\beta)\)は覚えなくていいのかと思った方もいるかと思います。もちろんこれくらいは覚えてしまってもよいのですが、覚える量を極限まで減らしたい方はこれらも導出しましょう。
\(\sin (\alpha-\beta)\)の導出
加法定理からスタートします。
\[
\sin(\alpha + \beta) = \sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta
\]
ここで \( \beta \) を \( -\beta \) に置き換えると、
\[
\sin(\alpha + (-\beta)) = \sin \alpha \cos (-\beta) + \cos \alpha \sin (-\beta)
\]
三角関数の性質より、
\[
\cos(-\beta) = \cos \beta, \quad \sin(-\beta) = -\sin \beta
\]
なので、これを代入すると、
\[
\sin(\alpha – \beta) = \sin \alpha \cos \beta – \cos \alpha \sin \beta
\]
\(\cos (\alpha-\beta)\)の導出
同様に、加法定理からスタート。
\[
\cos(\alpha + \beta) = \cos \alpha \cos \beta – \sin \alpha \sin \beta
\]
ここで \( \beta \) を \( -\beta \) に置き換えると、
\[
\cos(\alpha + (-\beta)) = \cos \alpha \cos (-\beta) – \sin \alpha \sin (-\beta)
\]
先ほどと同様に、\(\cos(-\beta) = \cos \beta, \sin(-\beta) = -\sin \beta\) を代入すると、
\[
\cos(\alpha – \beta) = \cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta
\]
以上のように、\(\sin (\alpha-\beta)\)と\(\cos (\alpha-\beta)\)の公式は加法定理から導出できます。
2倍角の公式の導出
2倍角の公式は、 加法定理で\(\beta = \alpha\) として導出します。
\(\sin 2\alpha\) の導出
加法定理の \(\sin(\alpha + \beta)\) に \( \beta = \alpha \) を代入すると、
\[
\sin(2\alpha) = \sin\alpha \cos\alpha + \cos\alpha \sin\alpha
\]
\[
= 2\sin\alpha \cos\alpha
\]
\(\cos 2\alpha\) の導出
加法定理の \(\cos(\alpha + \beta)\) に \( \beta = \alpha \) を代入すると、
\[
\cos(2\alpha) = \cos\alpha \cos\alpha – \sin\alpha \sin\alpha
\]
\[
= \cos^2\alpha – \sin^2\alpha
\]
また、三角関数の基本公式 \( \sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1 \) を利用すると、以下の形にも変形できます。
\[
\cos 2\alpha = 1 – 2\sin^2\alpha
\]
\[
\cos 2\alpha = 2\cos^2\alpha – 1
\]
半角の公式の導出
半角の公式は2倍角の公式をひっくり返す形で導きます。
\(\sin \frac{\alpha}{2}\) の導出
2倍角の公式 \( \cos 2\alpha = 1 – 2\sin^2\alpha \) の \( \alpha \) を \( \frac{\theta}{2} \) に置き換えます。
\[
\cos \theta = 1 – 2\sin^2 \frac{\theta}{2}
\]
この式を変形すると、
\[
\sin^2 \frac{\theta}{2} = \frac{1 – \cos \theta}{2}
\]
\(\cos \frac{\alpha}{2}\) の導出
同様に、2倍角の公式 \( \cos 2\alpha = 2\cos^2\alpha – 1 \) の \( \alpha \) を \( \frac{\theta}{2} \) に置き換えます。
\[
\cos \theta = 2\cos^2 \frac{\theta}{2} – 1
\]
\[
\cos^2 \frac{\theta}{2} = \frac{1 + \cos \theta}{2}
\]
和と積の公式の導出
和と積の公式は適切な加法定理を2つ選んで、項が消えるように足し引きすることで導きます。
和の公式(\(\sin A + \sin B\)）
和積とか言われたりするやつですね。
全部やると少し冗長なので、以下のものを選んで導出します。
他のものについては、残したい項を考えて、適切な加法定理を選びましょう。
\[
\sin A + \sin B = 2\sin \frac{A+B}{2} \cos \frac{A-B}{2}
\]
導出過程
加法定理より、
\[
\sin(\alpha + \beta) = \sin\alpha \cos\beta + \cos\alpha \sin\beta
\]
\[
\sin(\alpha – \beta) = \sin\alpha \cos\beta + \cos\alpha \sin\beta
\]
これらを加えると、
\[
\sin(\alpha + \beta) + \sin(\alpha – \beta) = 2\sin\alpha \cos\beta
\]
ここで、
\[
A = \alpha + \beta , B = \alpha – \beta
\]
とおくと、
\[
\alpha = \frac{A+B}{2} , \beta = \frac{A-B}{2}
\]
と書けるので、元の式に代入すると公式が導かれます。
\[
\sin A + \sin B = 2\sin \frac{A+B}{2} \cos \frac{A-B}{2}
\]
積の公式（\(\sin \alpha \cos \beta\)）
積和と呼ばれるやつですね。
これは和積を求める途中でほぼ導出されてますね。
和積とどちらかが導出できればよいでしょう。
\[
\sin \alpha \cos \beta = \frac{1}{2} (\sin(\alpha+\beta) + \sin(\alpha-\beta))
\]
導出過程
加法定理より、
\[
\sin(\alpha + \beta) = \sin\alpha \cos\beta + \cos\alpha \sin\beta
\]
\[
\sin(\alpha – \beta) = \sin\alpha \cos\beta – \cos\alpha \sin\beta
\]
これらを加えると、
\[
\sin(\alpha+\beta) + \sin(\alpha-\beta) = 2\sin\alpha \cos\beta
\]
整理すると
\[
\sin \alpha \cos \beta = \frac{1}{2} (\sin(\alpha+\beta) + \sin(\alpha-\beta))
\]
と導出できます。
まとめ
- 三角関数の公式をすべて暗記する必要はない。
- 加法定理だけ覚えておき、2倍角・半角・和と積の公式は導出する。
- 公式の導出方法を理解し、必要に応じて再現できるようにする。
手を動かして導出していると自然と形も覚えてくるので、こんな形だった気がするな･･･みたいなことも増えてきます。理系の方は、数学Ⅲの積分などでもよく使う知識ですので、形をイメージできることはとても重要です。
今回は割愛しましたが、 もちろん3倍角の公式も導出できます。
記事にしたらリンクを貼っておきますね。
