群数列 問題解説②

群数列 問題②

先にこちらの群数列の基本的な考え方を読んでください。
また、群数列 問題解説①でも群数列の問題解説を行っております。

解説

まず、群数列の基本的な考え方でも記載した通り、3つの数列や値を整理しましょう。

1. 第\(n\)項の値の数列 \(a_n\)
   ⇒ 第\(n\)項目の値は求められない
2. 第\(m\)群に含まれる項数の数列 \(b_m\)
   ⇒ 第\(m\)群目に含まれる項数 \(\color{red}{b_m = m}\)
3. 第\(m\)群の初項が第何項か \((n \geq 2)\)
   \(\color{red}{\displaystyle \sum_{k=1}^{m-1} b_k+1}\)
   今回の例では以下のように書けます。
   \(\displaystyle \sum_{k=1}^{m-1} b_k + 1 = \color{red}{\frac{1}{2} m(m – 1) + 1}\)

今回は①の数列が求められません。
また、今回の問題では「第何群何項目かがわかれば、その項の値もわかる」ということにも注意しましょう。

\(（例）第100群35項目は分母が100、分子が35なので\frac{35}{100}\)

こういった、①が求められないパターンでは、②を求めれば値がわかるようになっています。

\((1) 第150項を求めよ。\)

第150項が第何群何項目かわかれば求められます。
そのために③を用いて第150項が第何群かを特定し、第何群何項目か求めましょう。

\(第150項が第n群に存在する条件は③より\)

\(\frac{1}{2} n(n – 1) + 1 \leq 150 < \frac{1}{2} n(n + 1) + 1\)

\(これを満たすnは17なので第150項は第17群に存在することがわかります。\\
③に17を代入して、第17群の初項は第137項と求まります。\\
なので、第150項は第17群14項目とわかるので、求める値は\frac{14}{17}\)

\((2) 初項から第150項までの和を求めよ。\)

①の数列が求められないので、数列の和の公式やΣを用いて計算することができません。
一方で、各群の中では等差数列になっているので、各群に含まれる項の和は求めることができます。
→ 第k群に含まれる項の和を一般化してしまえば、複数群に含まれる項の総和も求められそう！
また、第150項は17群14項目とわかっているので、第1~16群目までは埋まっているため上記方法で求められ、17群目だけ別途計算して足し合わせればよさそうですね。

方針
１．第k群に含まれる項の総和を求める。
２．第k群に含まれる項の総和に対して、kを1から16まで和を取る。
３．第17群の初項から14項目までの和を取る。
４．２と３で求めた各値を足し合わせる。

\(１．第k群に含まれる項の総和は\\
\frac{1}{k} + \frac{2}{k} + \frac{3}{k} + … \frac{k}{k}\\
= \frac{(1 + 2 + 3 + … k}{k}\\
=\frac{\frac{1}{2}k(k + 1)}{k}\\
=\frac{1}{2}(k + 1)\)

\(２．この求めた値に対して第16群までの和を取ると\\
\displaystyle \sum_{k=1}^{16} \frac{1}{2}(k + 1)\\
= \frac{1}{2}(\frac{1}{2} \times 16 \times 17) + \frac{1}{2} \times 16\\
=76\)

\(３．第17群の初項から14項目までの和は\\
\frac{1}{17} + \frac{2}{17} + \frac{3}{17} + …\frac{14}{17}\\
= \frac{(1 + 2 + 3 + … 14}{17}\\
= \frac{\frac{1}{2}\times 14 \times 15}{17}\\
= \frac{105}{17}\)

\(４．よって、求める和は、
76 + \frac{105}{17}\\
= \frac{1397}{17} と求められる\)